Интересно, а здесь кто-нибудь мат. физ. знает?

Могу скинуть учебник, если надо! Этот предмет был на 2-м курсе, т.е. без малого 3,5 года назад! У меня память избирательная, и это она почему то не захотела запоминать!

слово "кусочная" означает, что она состои из кусков, обладающих некоторыми свойствами.

"Гладкой" обычно называют дифференцируемую некоторое количество раз. Это не строгий термин - скорее жаргон математиков.
"Непрерывная" - см. определение (Для всякого положительного эпсилон существует дельта... итд)
Кусочно-непрерывная - состоящая из кусков, на каждом из которых она непрерывна.
Кусочно-гладкая - состоящая из кусков, каждый из которых диффер-м

По определению, функция является кусочно-непрерывной на данном отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Ну а непрерывная в данной точке функция - это когда значение функции в данной точке определено, и пределы справа и слева равны друг другу и равны значению функции в данной точке. Последнее требование можно пояснить на примере функции f(x)=sin x/x при х=0. Если определеить что f(0) = 1, то функция непрерывна. Но в принципе никто не мешает задать, что f(0)=2 - в этом случае предела слева и справа равны друг другу, но не равны значению функции.

А кусочно-гладкая - это которая непрерывно дифференцируема везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.