Как находятся критические точки функции? Как находятся критические точки функции?

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис. 5а, б) .

В точках x1, x2 ( рис. 5a ) и x3 ( рис. 5b ) производная равна 0; в точках x1, x2 ( рис. 5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис. 6 ).

С другой стороны, функция y = | x | , представленная на рис. 3, имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.