Чем отличается непрерывная функция и разрывная?

не обязательно, как сказал Димка, напр. sign, опять же корень непрерывен в области определения.
для непрерывной функции в каждой внутренней точке области определения левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции.

непрерывная ф-ия определяется на всей оси ОХ, разрывная же обрыввется в некторой точке и не существует в ней