Не смотря на, ни смотря на? Когда пишется ни смотря на, а когда не смотря на? Приведите примеры.

НЕСМОТРЯ на что, на кого-что - в зн. предлога. Вопреки чему-нибудь, в противоречие с чем-нибудь. Несмотря на сильный дождь, было тепло (не смешивать с "не смотря" - деепричастием от глагола смотреть с отриц. "не" - он шел, не смотря по сторонам) .
Несмотря ни на что - несмотря ни на какое обстоятельство.

"Несмотря ни на что он продолжал радоваться жизни"

Зависит от контекста:
Например: "Ни один из двух вариантов ответа на этот вопрос здесь не подходит: ни "смотря", ни "на что". "

Несмотря на - это производный предлог, т. е. образован в рез-те перехода одной части речи в другую, в данном случае из деепричастия в предлог. Отсюда и правило правописания. ПРЕДЛОГ МОЖНО ЗАМЕНИТЬ ТОЛЬКО ПРЕДЛОГОМ.
Деепричастия с НЕ пишутся по правилу глаголов ( НЕ с глаголами и деепричастиями пишется раздельно, кроме известных исключений- ненавидеть- ненавидя, и т. д)

грамота. ру

правила грамматики русского языка