Как правильно написать: остаться не с чем или ни с чем?

Ни с чем, потому что ударение не падает на частицу ...

Нисчем

Все выражение подразумевает значение “нет чего-либо, с чем…”, при этом предполагается отсутствие определенного объекта или группы объектов.
Ударение во всем выражении приходится на частицу «не» — нЕ с чем. Ему не с чем работать сегодня вечером. Плохо, когда не с чем сравнить результат своей работы. Егору не с чем идти в гости к другу. Пошел бы к соседу, да не с чем, ничего не купил к чаю.
Ни с чем – в этом случае предлог “с” также определяет раздельное написание. Без предлога слово являлось бы отрицательными местоимением “ничем”. Данное сочетание подразумевает отсутствие в принципе чего-либо. Ударение приходится на местоимение «чем» — ни с чЕм.
- С чем будешь есть суп?
- Ни с чем.