что будет показывать компас, если стоять в центре северного полюса?

Смотря как держите компас.
Если будет чуть-чуть отклонение от горизонтали, то стрелка покажет точно на самую низкую точку компаса, а другим концом на самую высокую точку компаса.
Если держите компас в руке, то из-за дрожания руки, стрелка будет хаотично вращаться.
Разумеется, что идеальной горизонтальной поверхности Вы не найдете. Но если теоретически предположить, что расположили компас на идеальной горизонтальной поверхности, то магнитное поле Земли не создаст для стрелки вращательного момента. Поэтому на стрелку компаса окажет влияние более слабые наведенные магнитные поля от расположенных поблизости ферромагнетиков, например, пряжка на Вашем ремне, часы на руке, гвоздь в чемодане и т. п. И стрелка компаса сориентируется на ближайший крупный кусок ферромагнетика (железо, кобальт, никель и т. п. ) Эти вещи стрелка компаса чувствует и за пределами магнитного полюса Земли, но магнитное поле Земли создает крутящий момент гораздо более сильный, чем эти предметы, если плоскость вращения стрелки не перпендикулярна силовым линиям магнитного поля Земли.