Подскажите пожалуйста, после развода остался ребёнок. Нужно ли разрешение от отца ребёнка при поездке за границу?

конечно он же не умер

для выезда из РФ не нужен
а для въезда в другую страну ...узнавайте

смотря в какую страну вы едете
в страны Шенгена - нужно, иначе визу не дадут

Для выезда из России не нужно никакого согласия второго родителя.
Оно может быть нужно для въезда в некоторые страны, в зависимости от национального миграционного законодательства.

Смотря какую вы границу пересекаете (в какую страну (город) едете) . Разрешение оформляется у нотариуса!

Если ребенок выезжает за пределы РФ на отдых с одним из родителей, то согалсие второго родителя не требуется. Согласие второго родителя необходимо после того как от него поступит заявление в ФСБ о том, что он не согласен на выезд за пределы РФ своего несовершеннолетнего ребенка, Такое заявление должно быть написано по всем правилам Постановления Правительства РФ от 12 мая 2003г №237.

Прочитайте внимательно статьи 20-22 Закона о порядке въезда и выезда в РФ.
Документ, который вам предложат удостоверить у нотариуса (речь про отца ребенка) называется СОГЛАСИЕ.