Помгите решить задачи (№3) в каждой карточке!

Тема: «Параллельность прямой и плоскости».

Карточка 1
Сформулируйте первые три аксиомы стереометрии. Сформулируйте и докажите следствия из аксиом.
Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Плоскость а пересекает стороны AB и AC треугольника ABC соответственно в точках B1 и C1. Известно, что BC || a, AB : B1B = 5 : 3, AC = 15 см. Найдите AC1.

Карточка 2

Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости.

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности прямой и плоскости.
Докажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.

Карточка 3
Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых.
Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M – середина ребра AlDl.

Карточка 4
Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности двух плоскостей.
Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, D1 и M, где M – середина ребра BC.

Карточка 5
Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Докажите, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A1 и A2, а сторону AC этого угла соответственно в точках B1 и B2. Найдите AA1 если A1A2 = 6 см.

Карточка 6
Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка BB1, если AC : CB = 4:3, CC1 = 8 см.