Как отправить sms-сообщение таким образом, чтобы IP компьютера не обозначался на другом конце (либо изменялся)?

Используй прокси или vpn

Воспользоваться прокси или любым анонимизирующим сервисом.

Возможно помогут сервисы-анонимайзеры; ранее был сервис такой anonymizer.ru.

Можно отправлять сообщения с smsline.ru - там IP не показывается адресату.
Вообще, это - очень хороший сервис, советую всем.