Что такое модуль? И зачем он нужен в алгебре?

Модуль в математике, 1) Модуль (в математике) (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число (корень берётся со знаком плюс) . При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно Модуль (в математике) числа z. Модуль (в математике) допускает следующее геометрическое истолкование: комплексное число z = х + iy можно изобразить вектором, исходящим из начала прямоугольной системы координат и имеющим конец в точке с координатами (х, у) ; длина этого вектора и есть Модуль (в математике) комплексного числа z.

2) Модуль (в математике) перехода от системы логарифмов при основании а к системе логарифмов при основании b есть число М = 1/logab; для получения логарифмов чисел х при основании b, если известны логарифмы этих чисел при основании а, надо последние умножить на Модуль (в математике) перехода:

logbx = М logax.

Модуль (от лат. modulus — «маленькая мера» ) — составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь в целом.
Модуль (электроника) — функционально завершённый узел радиоэлектронной аппаратуры, оформленный конструктивно как самостоятельный продукт. См. также: унификация.
Термальный модуль — комплект системы охлаждения компьютера.
Автономно управляемая часть космического корабля, например, модули МКС: Юнити, Коламбус, стыковочно-грузовой модуль и другие (см. таблицу: {{Модули МКС}}).
Модуль (программирование) — функционально законченный фрагмент программы.
Модульное обучение (педагогика) — законченный блок учебного материала.
Модуль (архитектура) — предварительно заданная велична, размер, кратным которому принимаются остальные размеры при разработке проекта здания или при оценке существующего.
Модуль (полиграфия) — предварительно заданная велична, основа модульной системы вёрстки.
Модуль (судостроение) — произведение длины между перпендикулярами, ширины и высоты борта.
Модуль (реклама) — размеры графики для печатной рекламы.
+1+2+3+4+5

По определению модуль - это функция аргумента x, равная самому x, если x больше либо равно 0, и равная -x, если x меньше нуля. Обозначается так: |x|. В алгебре очень часто встречаются ситуации, приводящие к необходимости ввести подобную функцию. Одной из таких ситуаций является измерение отрезков на координатной прямой. Длина отрезка - это разность между координатой его конца b и координатой его начала a, т. е. это b-a, где b>a. Но иногда заведомо неизвестно, какое из этих чисел больше. И вот тут-то приходит на помощь модуль. Он позволяет не обращать внимания на порядок написания координат точек, т. е. |b-a| = |a-b|. Иными словами, длина отрезка в этом случае выразится формулой L = |a-b|, где a и b - какие угодно числа, либо числовые или буквенные выражения.
Другой пример, известна формула log (a^p) = p*log a (показатель степени аргумента логарифма можно вынести за знак логарифма в качестве множителя) , где основанием логарифма может быть какое угодно допустимое число. Из этой формулы будто бы следует, что log (a^2) = 2*log a. Но это неверно, потому что левая часть равенства при a < 0 имеет смысл, а правая - нет. На самом деле, справедливо равенство log (a^2) = 2*log |a|, где под a может пониматься любое допустимое (т. е. не равное нулю) число или выражение.