Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиПоискОблакоVK ComboВсе проекты

Вопрос по математическому анализу, посчитать интеграл

Андрюш Знаток (319), на голосовании 10 лет назад
помогите посчитать интеграл, :
/
| x*sin(x)/ (cos(x)^3) только по возможности без sec(x) и без sec(x)^-1,
/
если в таком виде сложно понять как записать, то можно вбить на данном сайте и там все будет понятно, на сайте даже решение есть, но оно слишком сложное, мы еще не проходили sec(x) и sec(x)^-1, и препод мне не засчитал такое решение.
Дополнен 11 лет назад
забыл добавить что решить надо на промежутке: верх=pi/4 низ-=0 т. е:
pi/4
/
| x*sin(x)/ (cos(x)^3)
/
0
Голосование за лучший ответ
Panic Doctor Просветленный (42144) 11 лет назад
x*sin(x) / cos^3(x) dx
сделаем замену t=1/cos(x)
dt= sin(x)/cos^2(x) dx
dx= cos^2(x) / sin(x) dt
x= arccos(1/t)

подставляем все это в исходный интеграл

arccos(1/t) * sin(x) *cos^2(x) / (cos^3(x) *sin(x)) dt
если перейти везде к переменной t, то получится интеграл

arccos(1/t) * t dt

или так
1/2 *(arccos(1/t) *d(t^2))
берем по частям

1/2 * (arccos(1/t)*t^2 - int t/sqrt(t^2 - 1) dt))
посчитаем последний интеграл

t / sqrt(t^2 -1) dt = 1/2 * d(t^2) / sqrt(t^2-1)= 1/2 * d(t^2-1) / sqrt(t^2-1)
интегрируем и получаем sqrt(t^2 -1 )

возвращаемся обратно

1/2 * (arccos(1/t) * t^2 - sqrt(t^2-1))
возвращаемся к переменной x

1/2 * (arccos(cos(x)) / cos^2(x) - sqrt( 1/cos^2(x) - 1))=
1/2 * (x/cos^2(x) - tg(x))
итого:
1/2 * (x/cos^2(x) - tg(x)) + C
это неопределенный интеграл

подставляй пределы и находи определенный) )
Похожие вопросы