найти сумму ряда

Ну, во-первых, все нечетные члены этого ряда равны нулю, поэтому общий член ряда выглядит так:
un(x) = 2*x^(4*n+1) / (4*n+1)
В свою очередь, такой ряд получается почленным интегрированием ряда
vn(x) = 2*x^(4*n)
Ряд {vn(x)} - удвоенная сумма бесконечной геометрической прогрессии, которая имеет предел, если |x|<1, т. е.
получается
Σ2*x^(4*n) = 2*Σx^(4*n) = 2*x^4/(1-x^4)
Сумма исходного ряда равна
Σ un(x) = 2*Σx^(4*n+1) / (4*n+1) = 2*∫Σx^(4*n) dx = 2*∫x^4 * dx / (1-x^4)
Последний интеграл легко берется методом неопределенных коэффициентов.