как правильно написать бутылка квасу или кваса? Отдельно по старшей и по младшей норме, объясните, почему

Бутылка с квасом

"Дайте квасу" - это второй родительный, или отделительный, падеж.
Эта грамматическая форма так и не стала самостоятельным падежом, но занимает в грамматике русского языка вполне определенное место.
Подробнее - почитайте здесь.
Заметим, что отделительный падеж по форме совпадает с родительным падежом украинского языка - русский и украинский языки происходят от одного и того же древнерусского языка и "разошлись" только в 16-17 веке.
В школьном курсе русской грамматики "второй родительный" падеж не упоминается. Равно как и "второй предложный" (на доме <---> на дому) . Равно как и предлоги "по" и "при" применительно к предложному падежу: на ком - на чём, при ком - при чём.