Протекает вода из сливного бачка в унитаз. Резиновая прокладка стала слишком жесткой. Чем можно ее размягчить?

Зачем ее размягчать, купи новую.

в керосине её подержать, но лучше - купить новую

размягчить не получится, а все бензины-керосины только растворяют резину.
Сверху можно намотать немного припоя (или свинца) для веса, чаще всего это помогает.

Попробуй на штуку которая запирает сливное отверстие положить пару тяжелых подшипников.. . Они заржавеют конечно но на время проблема решится.. . А так придется бачок снимать и всю систему менять

Полностью заменить арматуру, так и соседей можно затопить.

купи новую она копейки стоит и клапан отрегулируй

Всю арматуру заменять совершенно ни к чему - достаточно заменить спусковой запорный клапан, в просторечии часто именуемый "грушей".
В зависимости от конструкции бачка, он либо навинчен на проволочный крючок-дужку, либо (в более новых бачках) натянут на пластмассовую трубку, которая служит рукояткой спуска - "грушу" для одного и для другого случая надо покупать разную, какая нужна Вам - смотреть надо.
Груша не только становится жесткой, но и начинает крошиться, и проваливается с одного бока иногда - размачивать ее в бензине-керосине не поможет. Хотя размокла бы она нормально - резина вулканизирована и поэтому полностью не растворится, а только набухнет.

Если пришлёте снимок Вашего бачка внутри - попробую подсказать, какой спусковой клапан нужен Вам.
Цена клапана - от 5 рублей.

Ничем не размягчить до необходимого состояния. Требуется замена. Копеечная ерундовина, да и работы на пять минут.

Нужно потереть наждачкой резинку в месте соприкосновения с арматурой бочка (чтобы снять верхний загрубевший слой резинки).

Элементарно-в кипятке! Но лучше-заменить на новую !

Ксож, лучше всего менять на новую.
Теперь, в 2020г, она продается - разных форм и типов (например, в Леруа-Мерл.) или в и-нете.

Новую - потому что она: именно не жестчает, не размягчается, но а). изменяет свои хим. свойства со временем, и еще при этом б). деформируется. После этих двух пунктов, с ней, чтобы она потом снова хорошо служила - ксож., практически ничего нельзя поделать. Найти же прокладку похожих свойств среди аналогов по размеру, но из простой/обычной/авто/вело/бытовой резины - по практике замен/опытов последних лет у многих людей, не дало результатов, или они были отрицательными (система не работала хорошо).

Ну, да... купить новую... от 2650 рублей...