А количество дней в месяце как-то связано с самим Месяцем (Луной)?

Связано.
Календарей как-то в каменном веке мало было.
Изначально месяцы считали по фазам Луны.
Полную Луну трудно не заметить.
И четверть по прошествии примерно недели - тоже.

Календарные месяцы сейчас имеют продолжительность 30-31 день.
Лунный синодический месяц - от новолуния до новолуния - имеет среднюю продолжительность 29,53 суток.

Просто 29,5-дневных месяцев в году ровно 12 не укладывается, поэтому перестали обращать внимание на фазы Луны.
Они всё равно никакой пользы не дают.

Сейчас календарь солнечный - привязан (фактически) к дню весеннего равноденствия.
Период между двумя весенними равноденствиями в среднем составляет 365,2422 суток.
Поэтому год календарный состоит из 365-366 дней, которые традиционно делятся на 12 месяцев.

Календарь может быть лунным (длина месяца привязана к фазам луны) , солнечным (продолжительность года привязана к полному обороту Земли вокруг Солнца) или лунно-солнечным (и месяц и год имеют астрономическую привязку) . Первые изобретенные людьми календари были, как правило, лунными, поскольку для примитивной астрономии древних народов проще было точно вычислить длину лунного месяца, чем длину солнечного года. Так что когда-то продолжительность месяца действительно была привязана к лунным фазам. С тех пор и осталось в некоторых языках название месяца так или иначе связанное с Луной. Но сейчас мы живем по чисто солнечному календарю, он привязан только к Солнцу, не к Луне.

Древние еще со времен палеолита связывали и месяц содержал 28 дней - среднее между лунными месяцами 27,321 суток видимый период обращения Луны вокруг Земли и 29,531 суток между одинаковыми фазами Луны. Потом просто для удобства разделили год на 12 неравных месяцев.