И всётаки, Татьяна должна была писать Онегину???

Нет, не должна была Татьяна писать письмо.
Понятно, что она доверчива, чувства её невинные и искренние, но воспитанием её занимались мало, что привело к этому поступку, который сам Пушкин назвал "легкомыслием страстей".
Хорошо, что Онегин поступил с ней "по-джентльменски... "
Это неприлично, потому что могло привести к тяжёлым последствиям.
Прав Онегин, вразумляя её:
"Учитесь властвовать собою;
Не всякий вас, как я, поймет;
К беде неопытность ведет".