Каким методом здесь лучше интегрировать? Если методом интегрирования по частям, то что за что обозначать?

Мудрить совершенно не надо:
0. ∫(1 - 3·x)/(3 + 2·x) dx
1. Меняем знак согласно ∫ - F(x) dx --> - ∫ F(x) dx (так удобнее)
- ∫(3·x - 1)/(2·x + 3) dx
2. Раскрываем подинтегральное
- ∫(3/2) dx + ∫(11/(2·(2·x + 3)) dx
3. Поскольку ∫ a dx --> a·x
- 3·x/2 + ∫11/(2·(2·x + 3)) dx
4. Выносим 11 за интеграл
- 3·x/2 + 11·∫1/(2·x + 3)dx / 2
5. Вспоминаем, что ∫(1/a+bx dx) = (LN(a+bx)) / b
Имеем - 3·x/2 + 11·LN(2·x + 3)/4