Могут ли ученики требовать от директора смены педагога, если да, то каким образом?

сперва попробуйте на словах поговорить с директором. Но разговаривать надо четко, по существу и объективно.
Т. е. прямо по пунктам распишите, чем вас так педагог не устраивает. Только это должны быть объективные причины. Например: часто отменяет уроки, ставит 11-классников вести урок вместо себя, оскорбляет учеников прилюдно (при всем классе дураком обозвал) и постоянно, на уроках разговаривает только на посторонние темы вместо подачи материала по теме урока, не соблюдает последовательность уроков (сегодня параграф 28, завтра 6, послезавтра 49), бьет учеников, носит несвежую одежду и ужасно воняет, ведет пропаганду свидетелей иеговы и т. п. . И если есть доказательства - приложите.
Если вы предьявите директору причины типа "он нам не нравится", "он плохо объясняет", "он неслышно говорит", "он оценки занижает", "он формулы не знает, которые с нас спрашивает" и т. п. , вас слушать никто не будет, т. к. проверить это невозможно, это субъективно все. Васе Иванову он кажется плохим, а Свете Лешуковой - хорошим, она отличница. А всякие формулы и "говорит неслышно" вообще исправляемый недостаток у педагога.