Почему при прохождении тока по металлическому проводнику не происходит перенос вещества?

Потому, что в металлическом проводнике происходит только движение электронов (при плотной упаковке атомов) - это и есть электрический ток! В растворе (где расстояния между молекулами и атомами превышают размеры самих молекул, перенос электронов невозможен, а проводником тока являются ионы. Но ионы всё-таки не являются веществом, хотя по массе и составляют "львиную" долю его; они становятся веществом, окисляясь или восстанавливаясь на электродах.