Поспорила, как правильно: "влаживаю" или "вкладываю" именно в этом контексте. Как доказать? Помогите) Либо мы оба правы...

Ребяты, я сейчас себя просто ЗНАТОКОМ русского языка, аж, ощутил ;-)
Дело всё в том, что в русском языке глаголы-то разных видов бывают:
Глаголы несовершенного вида отвечают на вопрос "что делать? " и указывают на незавершенность действия, например: решать, читать.
Глаголы совершенного вида указывают на завершенность действия, на его конец или результат и отвечают на вопрос "что сделать? ", например: решить, прочитать.
Глаголу одного вида может соответствовать глагол другого вида с одним и тем же лексическим значением.
Такие глаголы образуют видовую пару: зацвести (в мае) - зацветать (вовремя) ; спасти (друга) - спасать (друга) .
Есть глаголы, которые в одних и тех же формах употребляются в значении и совершенного, и несовершенного вида. Такие глаголы называются двувидовыми, например: жениться, казнить, использовать.

Ну, и наконец.. .
Есть глаголы, которые не образуют форм другого вида, например, глаголы сожалеть, подпевать, ВКЛАДЫВАТЬ и др. не образуют парных форм совершенного вида,
а глаголы зашагать, ринуться, ВЛОЖИТЬ и др. - парных форм несовершенного вида.

А теперь насчёт "ВЛАЖИВАТЬ" ;-)
В словаре Даля ЕСТЬ такое слово, НО используется оно не в значении вкладывать-вложить, а.. .
ВЛАЖИВАТЬ - влаживать, владить что во что, вделывать, пригонять и вставлять, прилаживая вкладывать. Не наше дело тесать да гладить, а наше дело готовое владить. И владил да изгадил. В чужой ум не владишься. В словарях современного русского языка это слово не указано, его следует считать устаревшим: влаживать
Сейчас вместо этого слова могут использовать глагол ВСТРАИВАТЬ, а значит стиральную машину, которую сейчас встраивают в кухонный гарнитур, раньше бы как раз ВЛАЖИВАЛИ ;-)