Для чего нужно разложение функции в ряд фурье? И вообще что он из себя представляет?

Раскладывать функции в различные ряды - любимое занятие при сравнениях разных функций: сравнивать достаточно коэфициенты разложений. Это удобно при вычислении значений раскладываемой функции в конкретных точках - ведь синусы-косинусы считать умеем, и при различных доказательствах. Аналогом можно считать представление точек в трехмерном пространстве в виде набора координат (троек чисел) : и анализировать и сравнивать удобно!

Разложение функции в ряд - это замена сложной функции суммой простых. А на практике это сплошь и рядом нужно потому, что реакцию системы на простые функции (сигналы) легко вычислить. Легко, к примеру, вычислить, как себя ведёт электронная схема при подаче на неё чистого синусоидального сигнала. И если понятно, как она себя ведёт при ПРОИЗВОЛЬНОЙ, но фиксированной частоте, то, представив сложный сигнал в виде ряда (суперпозиции) синусов разных частот, можно выяснить отклик системы на этот сложный сигнал