к какой части речи относится слово (каждого) ?

КАЖДОГО – это форма родительного, а при сочетании с одушевлёнными существительными родительного или винительного падежа определительного местоимения КАЖДЫЙ, так как:
◆ на вопрос КАКОГО? отвечает (начальная форма – на вопрос КАКОЙ?);
◆ указывает на признак предмета, но не называет его.

Форма КАЖДОГО у данного местоимения есть и в мужском, и в среднем роде:
И. есть каждый человек, каждый листок, каждое окно
Р. от КАЖДОГО человека, КАЖДОГО листка, КАЖДОГО окна
В. вижу КАЖДОГО человека, каждый листок, каждое окно

КАЖДОГО – местоимение-прилагательное, поэтому и изменяется оно так же, как изменяются имена прилагательные: по числам, в единственном числе по родам, в обоих числах по падежам.

Но местоимение КАЖДОГО (КАЖДЫЙ) может употребляться и как местоимение-существительное – когда при нём нет определяемого слова: _КАЖДОГО это касается. _ (КОГО касается? каждого).

Памятка из Интернета Вам в помощь (местоимения в ней даны в начальных формах):
.