Что такое ИКОСАЭДР Сколько в нем граней?
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков – частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Среди звёздчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них: соединения пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединения десяти тетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как были открыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? В 1900 году Брюкнер опубликовал классическую работу о многогранниках, озаглавленную "Vielecke und Vielflache", в которой были представлены некоторые новые звездчатые формы икосаэдра. Открытием еще несколько форм мы обязаны Уиллеру(1924). В 1938 году систематическое и полное исследование вопроса провел Кокстер совместно с Дювалем, Флэзером, Петри. Для различения исходных форм и выделения характерных форм они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Кокстер доказал, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией (последнее обстоятельство дает возможность строить энантиоморфные им аналоги, которые имеют красивый и необычный вид.
(как можно найти объем икосаэдра в старших классах)
Это благородное Платоново тело состоит из 20-ти одинаковых правильных пирамид, основания которых - его грани, а общая вершина - его центр.
V одной пирамиды = 1/3*S*H. Высота треугольной грани h = a/2*ctg(п/6) = a/2*sqrt(3), потому S = a/2*h = sqrt(3)*(a/2)^2. Чтобы найти H = r*tg(ф/2), где ф - угол между двумя соседними гранями, нужно знать r = a/2*tg(п/6) = a/{2sqrt(3)} и диагональ 5-угольного основания "шапочки": d = 2a*cos(п/5). Угол ф будем искать как угол между высотами двух соседних граней. По теореме косинусов d^2 = h^2 + h^2 - 2hh*cos(ф), т.е.
{1-cos(ф)}/2 = d^2/4h^2 = (d/2h)^2 = [2cos(п/5)/sqrt(3)]^2 = 4/3*cos(п/5)^2;
это sin(ф/2)^2, откуда ctg(ф/2)^2 = 1/{4/3*cos(п/5)^2} - 1 и тем самым
tg(ф/2) = 2cos(п/5) : sqrt {3 - 4cos(п/5)^2}. После этого V одной пирамиды =
1/3 * sqrt(3)*(a/2)^2 * a/2*1/sqrt(3) * 2cos(п/5) : sqrt {3 - 4cos(п/5)^2}.
Поскольку
3 - 4cos(п/5)^2 = 3 - {3+sqrt(5)}/2 = {3-sqrt(5)}/2 = [{sqrt(5)-1}/2]^2,
получается
1/3 * (a/2)^3 * {sqrt(5)+1}/{sqrt(5)-1} =
a^3/24 * {sqrt(5)+1}^2/(5-1) =
a^3/48 * {3+sqrt(5)}.
Объем правильного икосаэдра в 20 раз больше:
V = 5a^3/12 * {3+sqrt(5)}.
Икосаэдр, правильный двадцатигранник, имеет 20 треугольных сторон (граней, в смысле), 30 ребер.
Насколько я помню, выпуклый 20-гранник