Как доказать признак делимости на 9. Школьная алгебра 7 класс помогите

1. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число

257802 (сумма цифр 2 + 5 + 7 + 8 + 0 + 2 = 24)

делится на три, а число

125831 (сумма цифр 1 + 2 + 5 + 8 + 3 + 1 = 20)

на три не делится.

2. Признак делимости на 9 аналогичен признаку делимости на 3: число делится на 9, если сумма составляющих его цифр делится на 9.

Доказательство справедливости этих признаков не представляет труда. Рассмотрим, например, признак делимости на 3. Он основан на том, что единица каждого из разрядов десятичной системы (т. е. числа 1, 10, 100, 1000 и т. д. ) при делении на 3 дает остаток 1. Поэтому всякое число

(anan-1an-2…a1a0)10,

т. е. число

an · 10n + an-1 · 10n – 1 + an-2 · 10n – 2 + … + a1 · 10 + a01

можно записать в виде

(an + an-1 + an-2 + … + a1 + a0) + B,

где число В делится на 3 без остатка. Отсюда следует, что

an · 10n + an-1 · 10n-1 + an-2 · 10n-2 + … + a1 · 10 + a0

делится на 3 в том и только в том случае, если на 3 делится число an + an-1 + an-2 + … + a1 + a0, т. е. сумма цифр исходного числа.

Признак делимости на 5 вытекает из того, что число 10 — основание системы счисления — делится на 5, поэтому все разряды, кроме разряда единиц, при делении на 5 обязательно дают в остатке ноль. На том же самом основан и признак делимости на 2: число четное, если оно кончается четной цифрой.

Признак делимости на 9, как и признак делимости на 3, вытекает из того, что каждое число вида 10k при делении на 9 дает в остатке 1.