Должен ли работник отрабатывать две недели при увольнении?

смотря где, смотря какая должность

В ТК РФ не было и нет нормы об отработке, есть норма о том, что работник должен письменно предупредить работодателя за 2 недели о своём намерении расторгнуть ТД (ст. 80) . Если работник на испытательном сроке, две недели сокращаются до трёх дней (ст. 71).
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.