почему хорды равноудаленные от центра круга равны ...доказательство ?

Хорды являются равноотстоящими от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

[179

в

Доказательство каждого из этих свойств основано на

возможности вращения круга вокруг своего центра (скольжения

окружности по себе) и соображениях симметрии. Докажем,

например, свойство 3.

Доказательство. Пусть хорды АВ и CD равноотстоят

от центра О окружности (рис. 204). Пусть ОК и

OL—перпендикуляры, проведенные к этим хордам из О. Будем вращать

дугу ASB, ' хорду АВ и перпендикуляр О/С до совмещения

последнего с перпендикуляром OL (т. е. на угол KOL). Тогда

перпендикуляры совместятся, значит, хорда АВ пойдет по хорде

CD и, поскольку окружность при

вращении скользит по себе, обе хорды

совпадут (последнее также видно из равенства

наклонных ОА=ОС = OB = OD, как

радиусов одной окружности) .

Остальные свойства рекомендуется

разобрать читателю.

179. Взаимное расположение двух

окружностей. Пусть даны окружность и

точка М„, не совпадающая с ее центром

С (рис. 205). Возможны три случая:

точка М„ лежит внутри окружности

(рис. 205, а) , на окружности (рис. 205, б) , вне окружности

(рис. 205, в) . Проведем прямую СМ0; она пересечет окружность

в точках К и L (в случае б) точка К совпадет с Мп) , из

которых одна будет ближайшей к точке Ма (по сравнению со всеми

другими точками окружности) , а другая — наиболее удаленной.

Рис. 204.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности —

ближайшая к Мп. В самом деле, для любой другой точки окружности

К' ломаная CMJC длиннее отрезка СК': СМ0 + МпК' >CK' = R,

но CMt)---=R — М0К, и потому MJC > М0К. Напротив, для

точки L найдем М0К' < М0С + СК' — МпС + R (скова ломаная

длиннее отрезка прямой) . Разбор остальных двух случаев

предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние разно

CM0 + R, наименьшее \\CM0 — R\\, т. е. СМ0 — R, если СМ0> R,

или R—CM0, если СМ0 < R.

Дано: АD и СК - хорды.
ОМ=ОВ=h - равноудалены, причём h - перпендикуляр к хорде (в обоих случаях)
ДОКАЗАТЬ: AD=CK

Рассмотрим треугольники, образованные радиусами, проведёнными к концам хорд. ADO u CKO
Они - равнобедренные. Следовательно, в кажом из них h - не только высота, но и МЕДИАНА.
Т. о. AD=2AB, а СК=2СМ.
Т. о. наша задача сводиться к доказательству, что
АВ=СМ
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образующиеся высотой-медианой h, радиусом r и половиной каждой хорды. ABO и CMO
По теореме Пифагора квадрат длины этой половины = r квадрат - h квадрат.
И у одной и у другой хорды они равны абсолютно одному значению: квадрат радиуса минус квадрат отстояния от центра.
А если равны половины хорд, то равны и их полные длины.
AD = CK