как доказать, что дискретная функция является непрерывной?можно ли ее дифференцировать и интегрировать?

Давайте для начала договоримся о терминах.. . Что такое "дискретная функция"? Это функция, которая может принимать только дискретное множество значений, - или же функция, определённая на дискретном множестве независимой переменной? Это два принципиально разных случая. В первом - функцию можно представить как "лесенку" (не обязательно только вверх или только в низ, может быть и туда-сюда) . Во втором - как набор отдельно стоящих палок.
Соответственно правила дифференцирования и интегрирования применяются по-разному.
Для дискретной функции и непрерывного аргумента (лесенка) дифференцирование и инегрирование выполняются по обычным правилом - с той особенностью, что функция имеет счётное число разрывов первого рода (скачков) , а между ними она константа (производная равна нулю) . Интегрирование такой функции тоже не ахти какое сложное (сумма площадей прямоугольников) .
С функцией, заданной на дискретном наборе значений аргумента, всё несколько иначе. Для неё вообще неприменимо обычное понятие производной как ПРЕДЕЛА ОТНОШЕНИЯ при dx --> 0. И там надо работать с дискретной производной как ПРОСТО отношением Δy/Δx, а не пределом оного. Интеграл же будет, скорее всего, тупо суммой значений функции для значений аргумента, попадающих в интервал интегрирования.