Думала правильно говорить "узбек", а на одном сайте прочитала "узбекистанец", а как же правильно?

Узбек - это представитель узбекского народа. Узбекистанец - гражданин узбекистана, может и не быть узбеком.
Так, например, я этнический казах. Но по месту проживания и гражданству - казахстанец. . Все просто.
Кстати, одному из тех, кто отвечал на вопрос. "Хач", по армянски, крест. "Хачик" - крещеный. Вы абсолютно правы, когда называете хачиками грузин и армян. Но вот узбек вас вряд ли поймет, а тем более чеченец.
Ну, про чурку вообще говорить не хочу. Встречал таких чурок среди русских.
И еще. Русский полководец Лавр Георгиевич Корнилов был этническим казахом. То есть, по Вашему, "чуркой"?