Какой части речи относится слово между

МЕЖДУ (разговорный вариант – МЕЖ) – это многозначный предлог, употребляемый с родительным м творительным падежами.

Употребление этого предлога с родительным падежом в основном архаично, но встречается в литературе:
► Вспомните Потемкина, который грыз ногти на пирах и, МЕЖДУ ШУТОК, решал в уме судьбы народов. (Белинский, «Литературные мечтания»);
► Пес дружества слывет примером с давних дней –
А дружбы МЕЖДУ ПСОВ, как будто МЕЖ ЛЮДЕЙ,
Почти совсем не видно.
(И. Крылов, «Собачья дружба»).

Архаики лишено употребление предлога между с родительным падежом «при указании на положение предмета среди других предметов или на то, что действие совершается в окружении, посреди каких-либо предметов:
► В той норе, во тьме печальной,
Гроб качается хрустальный
На цепях МЕЖДУ СТОЛБОВ.
(Пушкин, «Сказка о мертвой царевне и о семи богатырях»);
► Но все той же узкою тропкой МЕЖДУ ГОР
Мы втроем к рябинушке ходим до сих пор.
(М. Пилипенко, «Уральская рябинушка»).

Употребление данного предлога с творительным падежом соответствует современным нормам:
► Пьер сидел между женою и старою графиней. (Л. Толстой, «Война и мир»);
► Большая часть его дня тратилась в лаборатории, остаток делился поровну между лекциями и сном. (Леонов, «Скутаревский»).

Когда трудно определить часть речи, обращайтесь к словарям: http://gramota.ru/slovari/dic/?lop=x&bts=x&ro=x&zar=x&ag=x&ab=x&sin=x&lv=x&az=x&pe=x&word=между