Как вы думаете, почему тонкая струйка воды под крана вверху более "толстая", чем снизу?

а дальше вообше на капли разбивается .скорость струи увеличивается, кол-во воды остается прежним

Поверхностное натяжение дает о себе знать. Но это при малом напоре.

Количество жидкости, проходящей каждую секунду через поперечное сечение струи, в силу непрерывности потока должно оставаться постоянным на протяжении всей струи. Поскольку скорость воды при падении увеличивается, то чем ниже, тем меньшее сечение должна иметь струя, чтобы поток остался непрерывным. Конкретные силы, приводящие к сжатию струи - атмосферное давление и силы поверхностного натяжения.

Хороший вопрос. Энергия (поверхностного натяжения) цилиндра с водой больше, чем энергия отдельных капель. Естественно, жидкость стремится уменьшить энергию, то есть раздробиться на капли. Энергия цилиндра больше, чем энергия капель, когда длина цилиндра приблизительно в 4.5 раза больше радиуса.
P.S. Увеличение скорости течения жидкости к низу-следствие утончения струи. А не наоборот!