"Я постараюсь сделать это по-быстрее". Дефис нужен или нет? Как называется правило, которое тут используется.

Я постараюсь сделать это (как?) побыстрее -наречие, сравнительная степень, пишется слитно.
Через дефис пишутся наречия с приставкой по- и суффиксами -ому, -ему, -и : по-немецки, по-весеннему

Не нужен. Правило не скажу, не помню.

ПОБЫСТРЕЕ -- это прилагательное сравнительной степени, имеющее приставку ПО-.
Прилагательные с этой приставкой означают несколько большую или меньшую степень качества: побыстрее - несколько быстрее, послабее - несколько слабее.
Употребление сравнительной степени с приставкой ПО- более свойственно
разговорной речи.