Почему векторное произведение (ВП) перпендикулярно обоим перемножаемым векторам (В)?

Векторное произведение векторов не является настоящей математической операцией в том смысле, что в отличие от других математических операций оно не имеет однозначную обратную операцию. То есть это формальная операция, которая первоначально была придумана для введения понятия аксиальных векторов (момент вращения, магнитный момент и т. п.) , то есть псевдовекторов.
Геометрический смысл этой операции - это площадь параллелограмма, образованного двумя векторами. От порядка этих перемножаемых векторов зависит знак этой площади, плюс или минус. А никакого вектора тут нет. Для удобства было такое произведение решено представлять псевдотензорами. Размерность псевдотензора зависит от размерности рассматриваемого пространства.
В двумерном пространстве векторным произведением двух векторов является псевдоскаляр (псевдотензор нулевого порядка) , то есть число, которое меняет свой знак при отражении в зеркале.
В трехмерном пространстве - это псевдовектор или, по другому, аксиальный вектор (псевдотензор первого порядка) . Аксиальные вектора меняют свое направление при отражении в зеркале (магнитный момент, момент вращения и т. п. )
В четырехмерном пространстве - это псевдотензор второго порядка (грубо говоря квадратная матрица, некоторые элементы которой меняют знак при отражении пространства в зеркале) .
В пятимерном пространстве, соответственно, псевдотензор третьего порядка (кубическая матрица) .
И т. д.