Почему "Ж", "Ш" пишим с буквой "И"? Откуда пошло такое правило?

Насчёт ча-ща согласна с Ниной, а вот жи-ши-проще:
В древнерусском языке на этапе формирования кириллической письменности звуки [ж] и [ш] в этих слогах были мягкими, или, как говорят лингвисты, палатальными. Впоследствии языковые процессы привели к потере палатальности, а также к замене звука [и] на [ы] . Письменность же сохранила архаичную форму слога. Впрочем, подобное временное отставание письменности от произношения — довольно обычное дело.

Вообще, в русском языке буквы и и ы, в отличие от многих других гласных букв почти всегда соответствуют своим звукам [и] , [ы] (и почти не редуцируются) . Единственное исключение тут — обозначение буквой и звука [ы] после уже указанных ж, ш, а также ц и непервообразных (образованных от других слов или пришедших из других языков) приставок (например, в слове сверхинтересный) .

У букв ю и я — примерно одинаковая история. Они появились как лигатуры (слитные написания) буквосочетаний іоу и іа. Я настолько сильно изменилась, что лигатуру в ней уже не узнать, а вот ю — это просто іо с перекладиной. Хочется отметить интересный казус: из кириллической буквы оу образовалось и у, и ю, но в результате отбрасывания разных её половин. Так и получилось, что ю, по смыслу более подходящая на роль ё, оказалась с точки зрения современности не на своём месте. Похожая до наоборот участь постигла букву ы. Она произошла от лигатуры ъі (ер с иже) . Уголок от ера отвалился уже после, приведя к ещё одному казусу — после твёрдой согласной стал стоять знак, по идее означающий мягкость, а не твёрдость.
Древнерусская письменность не имела специальных обозначений мягкости или твёрдости согласных. Твёрдость и мягкость определялась тем, в каком окружении оказывался согласный, то есть была всего лишь разновидностью позиционных изменений. Так вот, перед гласными переднего ряда (это значит, что при произнесении язык сдвинут вперёд) , а это [е] , [и] , [ь] , согласные смягчались. А эти звуки обозначались соответственно буквами є, і, ь. В итоге образования лигатур с і образовались аналоги а, у, смягчающие стоящий спереди согласный, и лигатура ъі, которая выражала похожий на [и] , но не переднерядный звук.
Особое положение ча, ща, чу, щу тут в том, что ч и щ мягки сами по себе и і после них в этих слогах была уже избыточна (видимо, этот гласный между этими согласными и другим гласным просто окончательно редуцировался, сливаясь с согласным) .
Именно это и имеют в виду, когда говорят, что жи-ши, ча-ща. чу-щу пишутся по традиции, по традиционному принципу.