Как доказать, что в четырехугольник можно вписать окружночть тогда и только тогда, когда суммы его противоположных

И кстати это не обязательно должен быть квадрат. это также могут быть к примеру ромб или трапеция. По факту любой выпуклый четырёхугольник у которого сумма противоположных сторон равна

1. Воспользуемся методом от противного. Пусть для четырехугольника ABCD выполняется условие AB + CD = BC + DA . Проведем биссектрисы углов A и B и обозначим через O точку их пересечения.

Точка O равноудалена от сторон AD и AB, а также от сторон BA и BC. Значит, точка O равноудалена от трех сторон AB, AD и BC, поэтому мы можем построить окружность с центром в O, касающуюся этих трех сторон четырехугольника ABCD. Пусть эта окружность не касается стороны CD. Для определенности можно считать, что она не пересекает стороны CD.

Проведем через C прямую, касающуюся этой окружности, и обозначим через D1 ее точку пересечения с AD. Имеем два четырехугольника ABCD и ABCD1, в каждом из которых суммы противоположных сторон равны. В первом - по условию теоремы, во втором потому, что он описанный. Запишем оба эти равенства:

AB + CD = BC + AD, AB + CD1 = BC + AD1.

Вычтем второе равенство из первого. Получим: CD - CD1= DD1 или CD = CD1 + DD1. Последнее равенство означает, что точки C, D и D1лежат на одной прямой, так как в противном случае оно противоречило бы неравенству треугольника. Значит, точки D и D1совпадают, и четырехугольник ABCD является описанным.

2.Докажем, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD имеет место равенство AB + CD = BC + AD, то найдется точка, равноудаленная от всех сторон этого четырехугольника.

Для этого достаточно установить, что биссектрисы трех его углов, например углов A, B и D, пересекаются в одной точке. (Тогда точка пересечения соответствующих биссектрис равноудалена от AB и AD, BA и BC, AD и DC, т. е. равноудалена от всех четырех сторон. )

Пусть для определенности AB > BC. Из условия AB + CD = BC + AD следует, что AB - BC = AD - CD. Возьмем на AB точку K так, что BK = BC, AK = AB - BC, а на AD - точку такую, что MD = CD, AM = AD - CD. Как видим, AK = AM.

Поскольку треугольники MAK, KBC и CDM - равнобедренные с основаниями MK, KC и CM, биссектрисы углов A, B и D являются серединными перпендикулярами к отрезкам MK, KC и CM. Это означает, что они пересекаются в одной точке - центре окружности, описанной около треугольника MKC. t