За что Петр Первый убил сына ?

За то что тот в 10 домой не пришёл, как папа ему приказал!

за яйца подвешал на рее

что-бы тот страну не продал

Да потому, что на самом деле его настоящим-то отцом, был.. . Иван Грозный !!!

В посольство США бегал....

Сказал где то, что в Москву столицу перенесёт

у царевича с детства не ладились отношения с отцом, тот хотел, чтобы сын продолжил его дело, а Алексей всячески этому противился. Он боялся отца и однажды даже сбежал в Вену. А противники Петра также настраивали сына против отца. В итоге Алексея поймали и посадили в Петропавловскую крепость, где его заставили отречься от престола (он это сделал с удовольствием) , но по приказу Петра расследование по делу сына продолжалось, так под пытками царевич признался, что собирался свергнуть отца (скорее всего показания были сфальсифицированы) . За это и поплатился жизнью царевич.

Он его давно хотел кокнуть еле сдерживался

У Петра I c психикой были большие проблемы. А началось это с детства, когда на его глазах стрельцы убили некоторых его родственников. Последствия этой психологической травмы сказывались потом всю жизнь. Вспомним его самоличное отрубание голов у стрельцов, или когда от преподнёс своей жене в подарок заспиртованную голову её любовника, его знаменитую коллекцию уродов в кунсткамере. За время царствования Петра население России сократилось на четверть! И родного единственного сына, наследника престола не пожалел, изверг!

ЗА ДЕЛО) УГОЛОВНОЕ)
А если серьёзно. существуют разные мнения на этот счёт:
1) Справедливо карал преступника. (по законам того времени сам факт его побега уже являлся госизменой. А особенно побега в другое государство. пахнущего серьезным международным скандалом. То же касается и злоумышлений на здоровье государя. пусть даже высказанном в пьяном виде http://www.trinitas.ru/rus/doc/0215/004a/02154011.htm)
2) Убирал наследника, способного повернуть результаты его реформ в большую задницу. (флот распустить, корабли сжечь, свести счёты с кой-какими сторонниками Петра. прикрыть окошко в Европу. Известно. что и до того случая Алексей излишками патриотизма не страдал. а начинаний Петра так и вовсе не принимал и вряд ли понимал. К тому же вокруг него группировались множество противников Петра. оказывающих на него влияние, понятно, в какую сторону)
3)Избавлялся от "неудачного" мальчика, по совместительству неудачного напоминания о первом браке+ угрозы второй жене и второй семье. (некоторые историки валят всё на Екатерину, но убедительных доказательств не могут привести при всём желании. Впрочем, анекдоты про конфликт Петра и Алексея стали ходить задолго до появления в России Екатерины) .
Возможно, каждый фактор в разной степени сыграл свою роль. Но есть тут один маленький нюанс: Петр1 не просто убил своего сына. Он его ПОСАДИЛ. ПЕТР ВАЛЯПАЛСЯ КАК В БЛАТНЯКЕ ПРОКУРОР, У КОТОРОГО БЛЕДНАЯ ЛУНА ОЗАРЯЕТ СТАРЫЙ КЛАДБИЩЕНСКИЙ ДВОР, разорвав тем самым шаблон. Если бы он, как Иван 4. дал бы своему сыну по башке в припадке гнева и устроил после этого истерику. поговорили бы о нём и забыли.
А вместо этого он вёл следствие я февраля по июнь. . причём со всеми вытекающими. ) И вот-тут-то и появились всякие вопросы:
-какого х. . Пётр отнёсся к сыну как к уголовнику?
-какого х. . отбивал ему почки, печень и всё остальное?
-какого х. . вообще после этого случая не повесился? И даже не заплакал, а наоборот пошел праздновать свою днюху и день победы?) )
При этом не важно. что пытки в то время было стандартной процедурой следствия по делу. Не важны и кой-какие невыбитые факторы. К примеру, упомянутые Ефросиньей письма таки были в Австрийском архиве найдены. Да и при Шенборне Алексей тоже много кой-чего нелестного про Петра поведал. И не важно, что Алексея за задницу из Австрии вовремя вытащили, если верить Гертцу.
Алексей-то всё равно был сыном Петра как-никак. Какой ни есть, а вить своё говно) )
С другой стороны, Петра оправдывают тем, что он был прежде всего государственник, а уж потом-отец. И о судьбе страны он думал намного больше, чем о судьбе семьи. Отсюда, в принципе. и ноги растут и у его решения и вообще у этого самого конфликта. Надо было Алексею изначально мозги вправлять. а не с 14 лет, когда свои мозги уже не вставить)