Как пишется в продолжение(и) ?

"В продолжение" - предлог. Пишется раздельно, имеет на конце "е".

Употребляется при указании на временной отрезок, событие или действие, в течение которых происходит что-либо, и соответствует по значению следующему: в течение чего-либо, на протяжении чего-либо.

"в продолжение разговора/беседы высылаю вам документы... ", "в продолжение недели мне нездоровилось" и т. д.

"В продолжении" - существительное. Пишется раздельно, имеет на конце "и".

"в продолжении романа писатель ввел несколько новых героев", "в продолжении фильма становится ясно, кто убийца" и т. д.