Верно ли утверждение о том, что центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения его высот?

нет, не верно, только в частном случае в правильном треугольнике.. .
Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.