Может ли быть выставлен налог несовершеннолетнему за участие в конкурсе или он будет выставлен опекуну?

Само участие в конкурсах - не предусматривает никакого налогообложения.
А вот если по условиям конкурса получен приз или денежный приз, то этот приз обязательно облагается НДФЛ, но выплачивает его организатор конкурса.. .
То есть для примера: на конкурсе за первое место полагается приз 10 000 руб. НДФЛ с призов 35%, то есть 3500 руб. Выигравшему на руки выдадут не 10 000, а 6 500 руб. то есть вычтут сразу налог.