что такое приращение функции, как определить?

Приращение может быть каким угодно. Для простоты возьмем сначала одномерный случай.
Например, в одномерном случае y=sin x при конечном приращении х будет (y+Δy)-y=sin(x+Δx)-sinx, отсюда Δy=sin(x+Δx)-sinx
Это точное выражение для любых приращений. Определять дельту не надо, ты можешь поставить любую дельту, и для нее посчитать. f(x,y) вычисляется прямым вычислением по заданному виду функции и заданным значениям х и y. Точно так же должна задаваться и дельта - как исходное данное для вычислений.
Но для маленьких приращений формулу Δy=sin(x+Δx)-sinx можно заменить приближенным более простым выражением. Дифференциал dy=cosx*dx, то есть при бесконечно малом приращении икса увеличение игрека будет равно увеличению икса, умноженному на косинус икса в начальной точке. При конечном приращении это будет верно только приближенно, но его вполне можно использовать. Получается приближенное равенство Δy=cosx*Δx
Для твоего примера, поскольку он с двумя независимыми переменными, надо отплясывать от понятия полного дифференциала
dz=y²cosx*dx+2ysinx*dy
Тут y²cosx - скорость изменения z при перемещении по х, а 2ysinx - скорость изменения z при перемещении по y.
Это равенство точно верно только при бесконечно малых приращениях х и y, которые в математике называют дифференциалами. При конечных приращениях оно верно только приближенно, так как при отходе от точки, от которой отсчитываешь приращения, будут меняться и х и y. Но в малой окрестности этой точки можно считать его приближенно верным и для конечных приращений подчеркиваю - "в малой окрестности", то есть только для небольших приращений) . .