Премьер-министр и Председатель Правительства?

Это одно и тоже. Но в России правильно говорить Председатель Правительства.
Президент Российской Федерации является главой государства, а не главой правительства.

Председатель Правительства - такого термина не существует.
Прдседателем можно быть на собрании, в правлении.

Понятия Председатель Правительства и премьер-министр по смысловому содержанию идентичны.
Согласно п. 2. ст. 110 Конституции РФ и ст. 6 ФКЗ О правительстве Российской Федерации Ф» правительство Российской Федерации состоит из Председателя Правительства Российской Федерации, заместителей Председателя Правительства Российской Федерации и федеральных министров.
Таким образом, в Конституции РФ и в ФКЗ «О правительстве Российской Федерации» такое понятия как премьер отсутствует. То есть должность главы Правительства Российской Федерации принято именовать премьер - министром только неформально. Официально должность главы правительства премьер-министром именуется в таких странах как Япония, Португалия, Румыния, Британия, Италия, Финляндия, Франция и т. д. , то есть в странах, где эта должность отделена от поста главы государства

Короче, Премьер-министр и Председатель Правительства РФ - это одно и тоже, а Президент РФ - это глава страны (или главная Шишка).