Какой из балканских языков наиболее близок к Русскому языку?

В балканский языковой союз включают греческий, албанский, болгарский, македонский, румынский, сербохорватский и турецкий языки (последние два как периферийные) . То есть, выбирать приходится из трёх славянских языков - между болгарским, македонским и сербохорватским.

Македонский значительно менее понятен для русских, чем литературный болгарский, поскольку он создан на базе краевых диалектов болгарского, и в его лексике много сербских слов, а общепонятных для русских и болгар слов старославянского (древнеболгарского) происхождения, наоборот, меньше. В отличие от русского, оба языка аналитические и имеют развитую систему глагольных времён, подобную той, что есть в английском или романских языках.

В сербском варианте сербохорватского аналитизм есть только в переходных к болгарскому восточных говорах, а в литературном языке можно говорить только его элементах (например, форме инфинитива) . Старая система глагольных времён, активно используемая в болгарском и македонском, практически вышла из употребления. То есть, грамматически сербохорватский намного ближе к русскому, чем болгарский. Однако слов, понятных для русского, в нём меньше. До известной реформы Вука Караджича в Сербии в ходу был т. н. славяносербский язык, столь же насыщенный старославянизмами, как и русский с болгарским. Если бы он стал национальным языком всех сербов, то ответ на Ваш вопрос был бы однозначным.

Однако в результате реформы был создан фактически новый литературный язык на основе народных сербских и хорватских говоров, в котором доля старославянизмов и русизмов была очень небольшой. Поэтому ответ на Ваш вопрос неоднозначен: в лексическом отношении к русскому ближе всего болгарский (особенно научный и публицистический стиль) , а в грамматическом - сербохорватский. Что касается понимания разговорной речи, то у сербов она, на русский слух, тоже несколько понятнее, чем у болгар.