Как вывести формулу для вычисления длину дуги, заданной в полярной системе координат?

Question

Как вывести формулу для вычисления длину дуги, заданной в полярной системе координат?

Lenore Знаток (305), закрыт 12 лет назад

Нужен вывод формулы для длины дуги в полярной системе координат. Это вопрос по высшей математике за 1 курс.

Answer 1

Полярные координаты: x=r cos f, y=r sin f.
r=r(f). x=r(f)cos f, y=r(f)sin f.

x'(f)=r'*cos f-r*sin f, y'(f)=r'*sin f+r*cos f.

ds^2=(x'^2+y'^2)df^2=(r'^2+r^2)df^2

s=int [f1; f2] koren(r'^2+r^2)*df

Answer 2

Ну блин, рисовать тут я не буду.
Нарисуй, станет все понятно. Отрезок кривой dl будет гипотенузой треугольника, один из катетов - приращение радиуса dr, второй катет будет определяться по формуле r sin dφ, в линейном приближении sin dφ = dφ.
Другим способом, берешь длину дуги кривой в декартовых координатах и просто переходишь к полярным.
В том и другом случае получим dl = корень ((r ')^2 + r^2) dφ