как правильно пишется - мучить или мучать?

Рекомендую написать стали мучить, хотя современный Большой толковый словарь (гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб. : Норинт, 1998; gramota.ru публикует его в авторской редакции 2009 года) даёт оба эти написания, но рядом с глаголом мучать даётся помета (разг. ) – разговорное:

МУЧИТЬ, -чу, -чишь; (разг.) . МУЧАТЬ, -аю, -аешь; нсв. (св. замучить и измучить) . кого.
1. (чем) . Причинять муки, физические или нравственные страдания. М. животных. М. детей. М. голодом, жаждой. М. бездушным отношением. М. физически, нравственно.
2. Быть источником, причиной мук, страданий, волнения, беспокойства. Мучит голод, жажда. Любопытство мучит, мучает. Желание мучит, мучает. Сомнения мучают кого-л. < Мучение (см.).

А вот Орфографический словарь Российской академии наук.
Отв. ред. В. В. Лопатин (© Электронная версия, «ГРАМОТА. РУ» , 2001–2007), хотя и даёт только написание мучить, но формы слов к данному глаголу помещает в статью как от глагола мучить, так и от глагола мучать: мучить, мучу, мучит и мучаю, мучает; прош. мучил, -ила. В формах от глагола мучить в окончаниях гласная И (глагол 2-го спряжения) , а в формах от глагола мучать в окончаниях гласная Е (глагол 1-го спряжения) , а перед окончанием сохраняется суффикс А.

То же самое и в Толковом словаре русского языка С. И. Ожегова (+ причастия даются и от глагола мучить, и от глагола мучать:
МУЧИТЬ, -чу, -чишь и -чаю, -чаешь; мучащий [от мучить] и мучающий [от мучать] ; мученный [от мучить] ; несов. , кого (что) . Причинять кому-н. муки, страдания. М. подозрениями. || сов. замучить, -чу, -чишь и -чаю, -чаешь; -ченный и измучить, -чу, -чишь и -чаю, -чаешь; -ченный. Пометки в квадратных скобках мои.

Ну и ещё совет справочной службы портала gramota.ru
Вопрос № 260441
Подскажите, пожалуйста, глагол "мучать" допустим в журнальной статье? В словарях на Грамоте такая форма обозначена (разг.) . Если важен контекст, то глагол в предложении: "И не стоит мучать себя! "
VlaZak
Ответ справочной службы русского языка
Если нет особых причин использовать разговорную форму, такое употребление нежелательно.

Следовательно, если по каким-то причинам надо использовать именно разговорную форму, например, при передаче особенностей речи персонажа художественного произведения, для передачи особенностей речи конкретного человека, то надо употребить глагол мучать.