Нужно ли обращаться в налоговую инспекцию после получения свидетельства о праве на собственность?

нет. не нужно. Россрестр сам передает сведения о сделках по налоговым органам ( нарочным.. или спец. почтой) . Что касается налога.. то они сами пришлют извещение об уплате! так же можно свои начисления посмотреть в инете на портале ИФНС ( вводите свой ИНН.. и далее Ф. И. О. : https://service.nalog.ru/debt/