Нужна простая задача с решением как пример, где проявлялась бы польза использования комплексных чисел.

Любые задачи в теории колебаний и теории волн, то есть дифференциальные уравнения второго порядка, очень просто, легко и компактно решаются с применением комплексных чисел.
Например,
y''+D*y'+W^2*y=0
Попробуйте решить это уравнение сначала в вещественных числах, а потом в комплексных, и сразу почувствуете разницу.
Очень многие интегралы от минус бесконечности до плюс бесконечности элементарно находятся с применением теории вычетов в комплексных числах. А в вещественных числах, вообще, непонятно, как к ним подступиться.
И таких примеров очень много.
Кроме основной теоремы алгебры, очень большую роль играет еще и теорема об аналитическом продолжении. В комплексных числах очень просто доказывается, что если аналитическая функция известна в какой-то ограниченной области, то значит мы можем узнать её значение везде за пределами этой области.
Комплексные числа это не единственный пример алгебраически замкнутого поля. Есть и другие примеры. Но комплексные числа это единственное алгебраически замкнутое поле, которое имеет все свойства вещественных чисел (коммутативность, ассоциативность и отсутствие делителей нуля).