Задача о человеке и людоеде
Имеется озеро круглой формы. В центре озера находится человек. На границе озера, то есть на окружности, находится людоед. Известно также, что: 1) людоед плавать не умеет (а человек умеет) ; 2) скорость передвижения людоеда на суше в четыре раза больше скорости передвижения человека в воде; 3) на суше скорость человека больше скорости людоеда. Целью людоеда является съедение человека, целью человека — выход из озера и спасение от людоеда. Вопрос: как же должен маневрировать человек (опишите его движение) , чтобы выбраться из озера и не попасть в лапы людоеда?
(Нам эту задачу в своё время задавал наш учитель физики. Увы, ответ я не запомнил. Кто решит — тому буду очень благодарен.)
Понятно, что по прямой двигаться нельзя, поскольку расстояние r со скоростью v человек проплывет медленнее, чем людоед пробежит расстояние Пи r со скоростью 4v.
Значит, человек должен плыть по кругу некоторого радиуса. Каков радиус самого большого круга с центром в середине озера, по которому человек может двигаться так, чтобы людоед успевал за ним? Это такой круг, который позволил бы человеку преодолевать расстояние, составляющее четверть того, что преодолевает людоед, т. е. круг с радиусом r/4.
Итак, человек начинает движение по спирали от центра озера, приближаясь к окружности радиусом r/4, но все таки оставаясь внутри нее. При таком движении людоед начинает постепенно отставать. Человек плывет так до тех пор, пока людоед не отстанет от него на полные 180 градусов. Тогда человек окажется на противоположной от людоеда относительно центра стороне озера. Расстояние между ними будет 5/4 r. Как только это произойдет, человеку должен перестать двигаться по спирали и поплыть по прямой к самой дальней от людоеда точке на берегу озера. Человеку нужно преодолеть расстояние 3/4 r, а людоеду — расстояние Пиr. При этом человек движется со скоростью v, а людоед – со скоростью 4v. Следовательно, человеку понадобится времени 3r/(4v), людоеду – Пиr/(4v). Понятно, что первое меньше второго и человек доберется до берега раньше.
Нужно схватить людоеда и утопить, так как плавать он не умеет)) ) Других решений нет, людоед всегда будет успевать встречать беднягу на берегу) )
Очевидно, в условии ошибка. Если бы не в 4, а в 3 раза людоед был быстрее, то шанс на спасение был бы) )
А нет, вру, надо просто плыть так, чтобы людоед всегда находился строго сзади, и все будет хорошо)) ) Хотя это в уме прикинул, надо бы уравнения написать проверить.
Человеку сначала нужно плыть по спирали так, чтобы центр озера всегда был между ним и людоедом. Так ему нужно плыть до расстояния от центра, равному 1/4 радиуса озера. Свыше этого расстояния человеку уже не хватит скорости, чтобы оставлять между собой и людоедом центр озера, поэтому человеку тут нужно плыть по радиусу к берегу. Тогда, если принять скорость человека за V, он затратит время, равное 3R/4V. Людоед же добежит до того же места за время 3,14R/4V, то есть человек достигнет берега раньше и убежит.
Траектория движения человека будет напоминать знак вопроса.
Скорость людоеда: (2Пr/4)/t = 0,5*3,14*r/t ~ 1,6r/t
Скорость человека по кратчайшему пути: = r/t
Ответ: задача некорректна, так как людоед будет всегда быстрее человека минимум в 1,6 раза.
З. Ы. если человек будет плыть от людоеда всегда спиной, то рано или поздно он будет плавать по окружности в 1,6 раза меньше озера.
Плывите по спирали, так, что бы людоед всегда был всегда в противоположном направлении.
