Что такое норма вектора? Как их сравнивать?

А в общем случае норма вектора - это функционал, определенный на векторном пространстве и удовлетворяющий аксиомам нормы (см. , например, в Википедии) . Исходя из определения, норма - положительное число. Один из вариантов нормы - описанная в первом ответе норма вектора в "обычном понимании". Это евклидова норма.