Как вывести формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел?

Question

Как вывести формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел?

Тина Гуру (2517), закрыт 12 лет назад

Answer 1

Проще её не вывести, а доказать. В самом деле, если S(n)=n(n+1)(2n+1)/6,
то прямо получаем S(n)-S(n-1)=n^2. Что и тр. доказать.
Вывести можно по-разному. . Ну, например, рассмотрим известную сумму усечённой суммы геом. прогрессии
S1(q,n)=1+q+q^2+...+q^n=[q^(n+1)-1]/(q-1). Величина (d/dt)q(d/dt)S1(q,n)=....при q=1 опосля всех упрощений есть
та самая сумма арифметическая. Возню со значками не привожу - не нужно ничего, кроме аккуратности.
Ещё. S2(x,n)=1+cosX+..+cosnX={cos[(n+1)x/2]}/cos(x/2). Берём 2ю производную, затем полагаем x=0.

Answer 2

Собственно, привлекать матанализ и не нужно. Достаточно заметить, что:
2^3 = (1+1)^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1
...
(n+1)^3 = n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1

Тогда 1^3 + 2^3 + .+(n+1)^3 = 1 + (1^3+...+n^3) + 3*(1^2+...+n^2) + 3*(1+...+n) + n

Отсюда после сокращения кубов первых n чисел и привлечения суммы арифметической прогрессии получаем искомую формулу.