Комплексное число. Почему i^2(квадрат) = -1 . На каких основаниях так? Откуда ето взялось и к чему оно? Какой его смысл ?

У операции возведения в квадрат должна быть обратная операция.
Извлечение квадратного корня это обратная операция к операции возведения в квадрат.
Но возвести в квадрат Вы можете любое число.
А вот как извлечь квадратный корень из отрицательного числа? Получается, что нет обратной операции у возведения в квадрат, раз эта операция не работает для всех чисел.
Математики догадались, что это так не потому, что, якобы, нет обратной операции, а потому, что настоящими числами, на самом деле, являются комплексные числа, а действительные числа это всего лишь частный случай настоящих чисел. А обратная операция всегда есть и работает всегда.
Чтобы непротиворечиво расширить понятие действительных чисел до настоящих чисел и была математиками введена мнимая единица - такой математический объект, квадрат которого равен минус единице. В этом её смысл.

У математиков это не первое расширение понятия числа.
Чтобы работало на всех числах вычитание, придумали целые числа.
Чтобы работало на всех числах деление, придумали рациональные числа.
Чтобы работало на всех числах извлечение корня, сначала (до комплексных чисел) придумали действительные числа. А потом и комплексные.
Вычитание, деление и извлечение корня это всё обратные операции к сложению, умножению и возведению в степень. Никаких других нетривиальных обратных операций в математике не существует. Поэтому комплексные числа это последнее обобщение чисел. Все другие обобщения комплексных чисел, которые потом придумали математики, уже не сохраняют многих свойств обычных чисел (коммутативность, ассоциативность, отсутствие делителей нуля) . Именно в этом и заключается то, что комплексные числа являются самыми настоящими числами на все 100%.