проверочное слова достижения

Дости́гнуть, дости́чь (в корне происходит чередование согласных: Г//Ч//Ж) .

В современном русском языке уже не принято выделять в этом слове приставку:
дости́г/ну/ть,
достиж/е́ни/е [й/э] ,
поэтому безударная гласная О тоже находится в корне слова, но исторически, конечно, в слове выделялась приставка ДО- – именно так можно объяснить написание гласной в первом слоге.